Stata：如何检验分组回归后的组间系数差异？

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目录

• 1. 问题背景

• 1.1 两个文献中的例子

• 1.2 请问：2 > 1 吗？

• 2. 组间系数差异的检验方法

• 2.1 方法 1: 引入交叉项

• 2.2 方法 2: SUEST (基于似无相关模型 SUR 的检验)

• 2.3 方法 3：费舍尔组合检验 （Fisher's Permutation test)

• H. 其它基于 Permutation test 的检验

• 3. 小结

1. 问题背景

实证分析中，经常需要对比分析两个子样本组的系数是否存在差异。例如，在公司金融领域，研究薪酬激励是否有助于提升业绩时，模型设定为：

关注的重点是系数 。我们经常把样本分成**"国有企业(SOE)”和“民营企业(PRI)”**两个样本组，继而比较与是否存在差异。通常认为，民营企业的薪酬激励更有效果，即 。

如果两个样本组中的模型设定是相同的，则两组之间的系数大小是可以比较的，而且这种比较在多数实证分析中都是非常必要的。

1.1 两个文献中的例子

例1： Cleary, S., 1999, The relationship between firm investment and financial status, Journal of Finance, 54 (2): 673-692. Tabel IV

例2： 连玉君, 彭方平, 苏治, 2010, 融资约束与流动性管理行为, 金融研究, (10): 158-171. 表2.

1.2 请问：2 > 1 吗？

下面使用 Stata 软件自带的数据集 nlsw88.dta 来对此问题进行初步说明。

这份数据包含了 1988 年采集的 2246 个妇女的资料，核心变量包括：小时工资 wage，每周工作时数 hours， 种族 race 等变量。

我们想研究的是妇女的工资决定因素。

最为关注的是白人和黑人（相当于把原始数据分成了两个样本组：白人组和黑人组）的工资决定因素是否存在差异。

分析的重点集中于工龄（ttl_exp）和婚姻状况 (married) 这两个变量的系数在两组之间是否存在显著差异。

下面是分组执行 OLS 回归的命令和结果：

结果：

Table1: 白人组和黑人组工资影响因素差异对比

可以看到，ttl_exp 变量在 [white 组] 和 [black 组] 的系数分别为 0.251 和 0.269， 二者都在 1% 水平上显著异于零。

问题在于： 我们能说 0.269 比 0.251 大吗？

从统计意义上来看，答案显然没有那么明确（小学五年级的小朋友会觉得这根本不是个问题！）。

相对而言，若把注意力放在 married 这个变量上，或许更容易判断二者的差异是否显著。因为，_b[married]_white (白人组的 married 估计系数) 为 -0.737**，而 _b[married]_black 为 0.091 —— 前者在 5% 水平上显著为负，而后者不显著。

即便如此，我们仍然无法直接作出结论：，因为二者的置信区间尚有重叠：

我们也可以使用 coefplot 命令更为直观地呈现上述关系。下图中蓝色方框部分的系数是两组估计系数置信区间的重叠区域。由于它的存在，我们无法确信 。

2. 组间系数差异的检验方法

下面我们介绍三种检验组间系数差异的方法：

• 方法 1： 引入交叉项（Chow 检验）
• 方法 2： 基于似无相关模型的检验方法 (suest)
• 方法 3： 费舍尔组合检验（Permutation test）

2.1 方法 1: 引入交叉项

A. 基本思想

引入交乘项来检验某个或某几个变量的系数是否存在组间差异，只需在普通线性回归中加入交乘项即可。这是文献中最常用的方法，执行起来也最简单。

下面以检验 ttl_exp 在两组之间的系数是否存在显著差异为例进行说明。引入一个虚拟变量 ，若某个妇女是黑人，则 ，否则 。在如下命令中，black 变量即为这里的 。模型设定为：

这是最基本的包含虚拟变量，以及虚拟变量与一个连续变量交乘项的情形。

显然，对于白人组而言，，则 (1) 式可以写为：

对于黑人组，，(1) 式可以写为：

由此可见，在 (1) 式中，参数 和 分别反映了黑人组相对于白人组的截距和斜率差异。我们关注的是参数 ，它反映了 ttl_exp 这个变量在两个样本组中的系数差异。

因此，检验 ttl_exp 在两组之间的系数是否存在显著差异就转变为检验 。

B. Stata 实现

对于上述妇女工资决定因素的例子而言，通过引入交叉项来检验组间系数差异的命令如下：

为节省篇幅，仅列出最关键的结果如下：

交乘项 [ttl_x_black] 的系数为 -.01818, 对应的 p-value 为 0.756，表明 [ttl_exp] 的系数在两组之间并不存在显著差异。

我们也可以不事先生成交乘项，而直接采用 Stata 的因子变量表达式(参见 Stata因子变量的全攻略)，得到完全相同的结果：

或采用如下更为简洁的方式 (详情参见 help fvvarlist)：

然而，需要特别强调的是，在上述检验过程中，我们无意识中施加了一个非常严格的假设条件：只允许变量 [ttl_exp] 的系数在两组之间存在差异，而其他控制变量(如 married, south, hours 等) 的系数则不随组别发生变化。

这显然是一个非常严格的假设。因为，从 -Table 1- 的结果来看, married， south, hours 等变量在两组之间的差异都比较明显。

为此，我们放松上述假设，允许 married，south, hours 等变量在两组之间的系数存在差异：

在这种相对灵活的设定下，[ttl_exp] 的系数为 -0.016147 ，相应的 p-value=0.787，依然不显著。

当然，我们也可以采用更为灵活的方式：允许所有的变量在两组之间都存在系数差异（注意：所有离散变量前都要加 i. 前缀，否则将被视为连续变量进行处理（对于取值为0/1的虚拟变量，可以省略前缀 i.）；连续变量则需加 c. 前缀）：

这其实就是大名鼎鼎的 Chow test （邹检验），可以用 chowtest 命令快捷地完成。

C. 引入交叉项法的假设条件

通过引入交叉项来检验组间系数差异虽然操作上非常简洁，但需要注意这一方法背后隐含的假设条件（为了便于说明，重新将 (1) 式列出）：

• A1: 所有控制变量的系数在两组之间无差异，即 ;
• A2: 两组的干扰项具有相同的分布（因为估计时是将两组样本混合在一起进行估计的），即 , 且 ，换言之， 。

因此，当其它变量的系数在两组之间也存在明显差异（A1 不满足），或存在异方差（A2 不满足）时，上述检验方法得到的结果都存在问题。

D. 解决办法

• 对于 A1，实际操作过程中，可以通过引入更多的交乘项来放松 A1，如上文提到的 Model 2 或 Model 3。
• 对于 A2， 则可以在上述回归分析过程中加入 vce(robust) 选项，以便允许干扰项存在异方差；或加入 vce(cluster varname) 以便得到聚类调整后的稳健型标准误。当然，也可以在模型中允许二维聚类标准误，此时可以使用 vce2way 等命令。参见 Stata：聚类调整后的标准误-Cluster-SE。

最后需要说明的是，虽然在上述范例中，我们是以基于截面数据的 OLS 回归为例的，但这一方法也适用于其他命令，如针对面板数据的 xtreg, 针对离散数据的 logit, probit 等。

2.2 方法 2: SUEST (基于似无相关模型 SUR 的检验)

A. 基本思想

顾名思义，所谓的似无相关模型（seemingly unrelated regression）其实就是表面上看起来没有关系，但实质上有关系的两个模型。这听起来有点匪夷所思。这种“实质上”的关系其实是假设白人组和黑人组的干扰项彼此相关。为了表述方便，将白人和黑人组的模型简写如下：

若假设 ，则我们可以分别对白人组和黑人组进行 OLS 估计。然而，虽然白人和黑人种族不同，但所处的社会和法律环境，面临的劳动法规都有诸多相似之处，使得二者的干扰项可能相关，即 。此时，对两个样本组执行联合估计（GLS）会更有效率（详见 Greene (2012, Econometric analysis, 7th ed, 292–304)）。

执行完 SUR 估计后，我们就可以对两组之间的系数差异进行检验了。

从上面的原理介绍，可以看出，基于 SUR 估计进行组间系数差异检验时，假设条件比第一种方法要宽松一些：

• 其一，在估计过程中，并未预先限定白人组和黑人组各个变量的系数一定要相同，因此在 (2) 式中，我们分别用 和 表示白人组和黑人组各个变量的系数向量；
• 其二，两个组的干扰项可以有不同的分布，即 , ，且允许二者的干扰项相关，。

B. Stata 实现方法

我们可以采用两种方法来执行似无相关检验：一是使用 Stata 的官方命令 suest；二是使用外部命令 bdiff。后者语法较为简洁。

B1. 基于 suest 命令的检验

在 Stata 中执行上述检验的步骤为：

• Step 1： 分别针对白人组和黑人组进行估计（不限于 OLS 估计，可以执行 Logit, Tobit 等估计），存储估计结果；
• Step 2： 使用 suest 命令执行 SUR 估计；
• Step 3： 使用 test 命令检验组间系数差异。

范例如下：

Step 2 的结果如下（为便于阅读，部分变量的系数未呈现）：

对上述命令和结果的简要解释如下：

• 白人组和黑人组的估计结果分别存储于 w 和 b 两个临时性文件中；
• 执行 suest w b 命令时，白人组和黑人组的被视为两个方程，即文的 (2a) 和 (2b) 式。Stata 会自动将两个方程对应的样本联合起来，采用 GLS 执行似无相关估计（SUR）；
• 由于 SUR 属于多方程模型，因此需要指定每个方程的名称，在下面呈现的回归结果中，[w_mean] 和 [b_mean] 分别是白人组和黑人组各自对应的方程名称。因此，[w_mean]ttl_exp 表示白人组方程中 ttl_exp 变量的系数，而 [b_mean]ttl_exp 则表示黑人组中 ttl_exp 变量的系数。

执行组间系数差异检验的结果如下（Step 3）：

此时，ttl_exp 在两组之间的系数差异仍然不显著，这与采用第一种方法得到的结论是一致的。在我们测试的三个变量中，只有 south 的系数在两组之间存在显著差异，对应的 p-value 为 0.0169。 

B2. 基于 bdiff 命令的检验

上述过程可以使用我编写的 bdiff 命令非常快捷的加以实现，结果的输出方式也更为清晰（在 Stata 命令窗口中输入 ssc install bdiff, replace 可以下载最新版命令包，进而输入 help bdiff 查看帮助文件）：

结果如下：

几点说明：

• 使用 suest 时，允许两个样本组的解释变量个数不同。但由于一些技术上的问题尚未解决(很快可以解决掉)，bdiff 命令要求两个样本组中的解释变量个数相同。在上例中，白人组在 Mining 行业的观察值个数为零（输入tab industry black 可以查看），导致我们加入行业虚拟变量时，白人组只有 10 个行业虚拟变量，而黑人组则有 11 个行业虚拟变量。为此，在上述命令中，我使用 drop if industry==2 命令删除了 Mining 行业的观察值。
• 目前，bdiff 还不能很好地支持因子变量的写法 (help fvvarlist)，因此上例中的行业虚拟变量不能通配符方式写成 d*，而必须写成原始模样：d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11。

C. 面板数据的处理方法

• 2018/5/3 8:04 更新 目前，可以使用 Federico Belotti. 更新后的 suest.ado 文档替换 Stata 官方提供的 suest.ado 文档。前者支持 xtreg 命令。替换方法为：net install suest, replace。此时，suest.ado  文件被自动安装在 stata15\ado\plus\s 文件夹中。一劳永逸的做法是用该文件替换掉  stata15\ado\base\s 文件夹中的同名文件。

• (2017/9/3 8:05) suest 不支持 xtreg 命令，因此无法直接将该方法直接应用于面板数据模型，如 FE 或 RE。此时，可以预先手动去除个体效应，继而对变换后的数据执行 OLS 估计，步骤如下：

• step 1：对于固定效应模型而言，可以使用 center 或 xtdata 命令去除个体效应；对于随机效应模型而言，可以使用 xtdata 命令去除个体效应。
• step 2：按照截面数据的方法对处理后的数据进行分组估计，并执行 suest 估计和组间系数检验。

• 举个例子：

D. 小结

• 相对于方法1（引入交乘项），基于 SUR 的方法更为灵活一些。在上例中，白人组和黑人组的被解释变量相同 （均为 wage），此时方法 1 和方法 2 都能用。有些情况下，两个组中的被解释变量不同，此时方法 1 不再适用，而方法 2 则可以。
• 对于面板数据而言，可以预先使用 center 或 xtdata 命令去除个体效应，变换后的数据可以视为截面数据，使用 regress 命令进行估计即可。
• 为了便于呈现结果，可以使用estadd 命令将上述检验结果(chi2 值或 p值) 加入内存，进而使用 esttab 命令列示出来。可以参考 help bdiff 中的类似范例。

2.3 方法 3：费舍尔组合检验 （Fisher's Permutation test)

A. 基本思想

将二者的系数差异定义为 ，检验的原假设为： 。

我们仍然关注 ttl_exp 变量在两组之间的系数差异。以 -Table 1- 中的结果为例，可以看到，ttl_exp 变量在 [white 组] 和 [black 组] 的系数估计值分别为 0.251 ( ) 和 0.269 ()，因此，实际观察到的系数差异为 。

这里， 是一个统计量，若能知道其分布特征，便可通过分析 在 的分布中的相对位置来判断我们实际观察到 的概率。若概率很小，则表明 是小概率事件，此时拒绝原假设，反之则无法拒绝原假设。

例如，若假设 服从标准正态分布，即 ，则基于实际观察到的 ，我们很容易得出结论：无法拒绝原假设，即两组之间的 ttl_exp 的系数不存在显著差异。p-value 很容易计算 (当然，也可以查表得到)：

然而，我们并不知道 的分布特征。此时，可以对现有样本进行重新抽样，以得到经验样本 (empirical sample)，进而利用经验样本构造出组间系数差异统计量 的经验分布 (empirical distribution)，从而最终得到经验 p 值 (empirical p-value)。

下面先通过一个小例子说明 “经验 p 值” 和 “经验分布” 的概念，进而介绍使用组合检验获得 “经验 p 值” 的流程。

B. 经验 p 值 (empirical p-value)

在这个小例子中，我们先随机生成一个服从标准正态分布的随机数 ，共有 10000 个观察值。这些观察值是通过模拟产生的。如果这些观察值构成的样本是通过从原始样本（原始样本是从母体中一次随机抽样，称为 “抽样样本，sample”）中二次抽样得到的，则称为 “经验样本 (empirical sample)”。

然后，我们数一下在这 10000 个随机数中，有多个是大于 (我们实际观察到的数值)，命令为 count if d<-0.018。一共有 4963 个观察值大于 ，由此可得，经验 p 值 = 4963/10000 = 0.4963。这与采用 normal() 函数得到的结果 (0.4928) 非常接近。

C. 经验样本 (empirical sample)

上例中，我们假设 服从标准正态分布，从而可以通过 Monte Carlo 模拟的方式产生 10000 个观察值，这事实上是构造了一个经验样本。但多数情况下，我们并不知道 的分布特征，此时无法使用 Monte Carlo 模拟。然而，若假设抽样样本 (sample) 是从母体 (population) 中随机抽取的，则可以通过抽样样本中二次抽样得到经验样本 (empirical sample)，这些经验样本也可以视为对母体的随机抽样。

若抽样过程中为无放回抽样 (sampling with no replacement)，则相应的检验方法称为 “组合检验（permutation test）”；若抽样过程中为有放回抽样 (也称为可重复抽样，sampling with replacement)，则对应的检验方法称为 “基于 Bootstrap 的检验”。

D. 费舍尔组合检验的步骤

若 是正确的，则对于任何一个妇女而言（不论她是白人还是黑人），其 对 的边际影响都是相同的。因此，我们可以将白人组和黑人组的观察值混合起来，从中随机抽取 个观察值，并将其视为"白人组"，剩下的 个观察值可以视为“黑人组”。

• Step 0: 分别针对白人组和黑人组估计模型 (3a) 和 (3b)，得到系数估计值     和 ，以及二者的系数差异 ；
• Step 1: 将白人组和黑人组的样本混合起来，得到 个观察值构成的样本 ；
• Step 2: 获得经验样本 —— 从 中随机抽取 (无放回) 个观察值，将其视为“白人组”(记为 )，剩下的 观察值可以视为“黑人组” (记为 Sb)；
• Step 3: 分别针对经验样本 和 ，估计模型 (3a) 和 (3b)，得到 和 （上标 表示利用第一笔经验样本得到的估计值），以及二者的差异 ；
• Step 4: 获得统计量 的经验分布 —— 将 Step 2 和 Step 3 重复执行 次 (如 )，则可以得到 ，亦可简记为 ；
• Step 5: 计算经验 p 值：其中， 表示 Step 4 中得到的 个 中大于我们实际观测到的 的个数。若 ，则可以在 5% 水平上拒绝原假设，表明两组的系数差异是显著的。

需要说明的是，由于 的分布未必是对称的，因此， 与 都可以视为在 5% 水平上拒绝原假设的证据。因为，前者意味着 在 1000 个 中属于非常大的数值，而后者意味着它是非常小的数值。无论如何，在原假设 下观察到 都是小概率事件，也就意味着原假设是不合理的。

此外，该方法的并不局限于普通的线性回归模型(regress 命令)，可以应用于各种模型的估计命令，如 xtreg, xtabond, logit, `ivregress' 等。

E. Stata 实现

上述过程可以使用连玉君编写的 bdiff 命令来实现。在命令窗口中输入 ssc install bdiff, replace 可以自动安装该命令。帮助文件中提供了多个范例。

例1：不考虑行业虚拟变量

相关说明如下：

• 选项 group() 中填写用于区分组别的类别变量（若有多个组，可以预先删除不参与比较的组，类似于上面的 drop if race==3 命令）；
• 选项 model() 用于设定回归模型，即上面提到的模型 (3a) 或 (3b)；
• 选项 reps(#) 用于设定抽样次数，即上文提到的 K ，通常设定为 1000-5000 次即可；
• 附加 detail 选项，可以进一步列表呈现两组的实际估计系数 和 ；

上述过程大约用时 13 秒，结果如下：

可以看到，ttl_exp 的经验 p 值为 0.49，表明白人和黑人组的 ttl_exp 系数不存在显著差异；married 变量的 p 值为 0.08，我们可以在 10% 水平上拒绝原假设。细心的读者会发现，该变量对应的 Freq = 920，为什么？（答案在上面 Step 5 处）。

例1：考虑行业虚拟变量

若需在模型中加入虚拟变量，处理过程会稍微复杂一些。需要手动生成行业虚拟变量，并保证两个样本组中参与回归的行业虚拟变量个数相同。此外，书写命令时，不能使用通配符。（后续版本的 bdiff 命令会使用 fvunab 命令解决这些 bugs）。

F. 面板数据

若原始数据为面板数据，通常会采用 xtreg, xtabond 等考虑个体效应的方法进行估计。抽样过程必须考虑面板数据的特征。在执行 bdiff 命令之前，只需设定 xtset id year，声明数据为面板数据格式，则抽样时便会以 id (公司或省份代码) 为单位，以保持 id 内部的时序特征。有关面板版数据模型的介绍，参见 Stata: 面板数据模型一文读懂。

耗时 608 秒方可完成，结果如下：

解释和说明：

• bdiff 命令中设定 bs 选项，则随机抽样为可重复抽样 (bootstrap)；
• first 选项便于将组间系数差异检验结果保存在内存中，方便后续使用 esttab 合并到回归结果表格中。具体使用方法参见 help bdiff。
• 由于抽样过程具有随机性，因此每次检验的结果都有微小差异。在投稿之前，可以附加 seed() 选项，以保证检验结果的可复制性。
• 其他选项和使用方法参阅 help bdiff 的帮助文件。

G. 延伸阅读

关于这一方法的更为一般化的介绍参见：Efron, B., R. Tibshirani. An introduction to the bootstrap[M]. New York: Chapmann & Hall, 1993 (Section 15.2, pp.202), -PDF-.

如下论文使用了这一方法检验了 “投资-现金流敏感性” 分析中的组间系数差异：

• Cleary, S., 1999, The relationship between firm investment and financial status, Journal of Finance, 54 (2): 673-692. (pp.684-685) -PDF-

• 连玉君, 彭方平, 苏治, 2010, 融资约束与流动性管理行为, 金融研究, (10): 158-171. （pp.164）-PDF-

H. 其它基于 Permutation test 的检验

• mtest 命令基于组合检验的思想来检验两个样本组是否具有相同的分布。
• Tebaldi P, Bonetti M, Pagano M. M statistic commands: Interpoint distance distribution analysis. Stata Journal, 2011, 11(2):271-289. - PDF -
• tsrtest, mwtest 命令用于检验两个样本组的均值，中位数，方差等多个维度的差异。
• Kaiser J, Lacy M G. A general-purpose method for two-group randomization tests[J]. Stata Journal, 2009, 9(1):70-85. - PDF -
• 上述命令都可以使用 findit 命令搜索到，或直接用 ssc install 命令下载安装，参见 Stata: 外部命令的搜索、安装与使用。

3. 小结

• 方法1（加入交乘项） 在多数模型中都可以使用，但要注意其背后的假设条件是比较严格的。若在混合回归中，只引入你关心的那个变量（ttl_exp）与分组变量 (black) 的交乘项（ttl_exp*black），则相当于假设其他控制变量在两组之间的不存在系数差异。相对保守的处理方法是：在混合估计时，引入所有变量与分组变量的交乘项，同时附加 vce(robust) 选项，以克服异方差的影响。有关 交叉项 的更为详细的介绍，参见 连享会 - 交乘项专题推文系列。
• 方法2（基于 SUR 模型的检验） 执行起来比较方便，假设条件也比较宽松：允许两组中所有变量的系数都存在差异，也允许两组的干扰项具有不同的分布，且彼此相关。局限在于，有些命令无法使用 suest 执行联合估计，如几乎所有针对面板数据的命令都不支持（xtreg，xtabond 等）。
• 方法3（组合检验） 是三种方法中假设条件最为宽松的，只要求原始样本是从母体中随机抽取的（看似简单，但很难检验，只能靠嘴说了），而对于两个样本组中干扰项的分布，以及衡量组间系数差异的统计量 的分布也未做任何限制。事实上，在获取 经验 p 值 的过程中，我们采用的是“就地取材”、“管中窥豹”的思路，并未假设 的分布函数；另一个好处在于可以适用于各种命令，如 regress，xtreg，logit, ivregress' 等，而suest` 则只能应用于部分命令。

方法无优劣。无论选择哪种方法，都要预先审视一下是否符合这些检验方法的假设条件。

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